【立体几何求点到平面的距离】在立体几何中，点到平面的距离是一个重要的概念，广泛应用于空间几何、工程计算以及数学建模等领域。理解并掌握如何计算点到平面的距离，有助于提升对三维空间结构的分析能力。

一、点到平面距离的定义

点到平面的距离是指从该点出发，垂直于平面的最短距离。这个距离可以通过向量运算或解析几何的方法进行计算。

二、计算方法总结

三、实例分析

例题：

已知平面方程为 $ x + 2y - 3z + 4 = 0 $，点 $ A(1, -1, 2) $，求点 A 到该平面的距离。

解法：

使用解析法公式：

$$

d = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 2 + 4}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2}} = \frac{1 - 2 - 6 + 4}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{-3}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}

$$

四、注意事项

1. 确保平面方程的标准形式正确，即 $ Ax + By + Cz + D = 0 $。

2. 法向量 $\vec{n} = (A, B, C)$ 必须与平面垂直。

3. 若点位于平面上，则距离为 0。

4. 实际应用中，可结合坐标系变换简化计算。

五、总结

点到平面的距离是立体几何中的基础内容，掌握其计算方法不仅有助于解决数学问题，还能在实际工程中提供支持。通过向量法、解析法等多种方式，可以灵活应对不同的题目类型。建议多做练习，加深对公式的理解和应用能力。